*

Phần bài Tập

Bài 1 (trang 45 SGK Giải tích 12):Phát biểu các điều kiện đồng vươn lên là và nghịch biến chuyển của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

y = -x3+ 2x2– x – 7;

Lời giải:

– Điều kiện đồng biến, nghịch phát triển thành của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) xác minh trên K, hàm số f(x):

+ Đồng trở thành (tăng) bên trên K trường hợp ∀ x1, x2∈ K: x12=> f(x1) 2).

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 12 sgk chương 1

+ Nghịch biến hóa (giảm) trên K ∀ x1, x2∈ K: x12=> f(x1) > f(x2)

– Xét hàm số y = -x3+ 2x2– x – 7, ta có:

D = R

y’ = -3x2+ 4x – 1

y’ = 0 => x = 1 ; x = 1/3

y’ > 0 cùng với x ∈ (1/3; 1) cùng y’ lưu giữ ý:Bạn buộc phải kẻ bảng biến hóa thiên giúp xem sự đối kháng điệu ví dụ hơn.

– Xét hàm số

Ta có: D = R 1

*

=> Hàm số luôn nghịch biến đổi trên từng khoảng tầm (-∞; 1) với (1; +-∞)

Bài 2 (trang 45 SGK Giải tích 12):Nêu giải pháp tìm cực đại, rất tiểu của hàm số nhờ vào đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số:

y = x4– 2x2+ 2

Lời giải:

– cách tìm rất đại, cực tiểu của hàm số nhờ vào đạo hàm:

Quy tắc 1:

1. Tìm kiếm tập xác định.

2. Tính f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x). Tìm các điểm tại đó f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x) bằng 0 hoặc f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x) ko xác định.

3. Lập bảng biến hóa thiên.

4. Tự bảng thay đổi thiên suy ra những điểm cực trị.

Quy tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x). Giải phương trình f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x) = 0 với kí hiệu xi(i = 1, 2, 3, …) là các nghiệm của nó.

3. Tính f”(x) với f”(xi)

4. Ví như f”(xi) > 0 thì xilà điểm rất tiểu.

Nếu f”(xi) ilà điểm rất đại.

– Xét hàm số y = x4– 2x2+ 2, ta có:

y’ = 4x3– 4x = 4x(x2– 1)

y’ = 0 ⇔ 4x(x2– 1) = 0 => x = 0; x = ±1

y” = 12x2– 4

Dựa vào luật lệ 2, ta có:

y”(0) = -4 x = 0 là điểm cực đại.

y”(-1) = y”(1) = 8 > 0 => x = ±1 là nhị điểm rất tiểu.

Bài 3 (trang 45 SGK Giải tích 12):Nêu giải pháp tìm ra tiệm cận ngang với tiệm cận dứng của vật thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

*

Lời giải:

– giải pháp tìm tiệm cận ngang:

Đường thẳng y = yolà tiệm cận ngang của đồ dùng thị hàm số y = f(x) nếu tối thiểu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

*

– bí quyết tìm tiệm cận đứng:

Đường thẳng x = xolà tiệm cận đứng của đồ dùng thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong số điều khiếu nại sau được thỏa mãn

*

– Xét hàm số

*
*

=> Đồ thị tất cả tiệm cận đứng là x = 2.

*

=> Đồ thị bao gồm tiệm cận ngang là y = -2.

Bài 4 (trang 45 SGK Giải tích 12):Nhắc lại sơ đồ điều tra sự biến hóa thiên cùng vẽ thiết bị thị của hàm số.

Lời giải:

Hàm số y = f(x)

Các bước khảo sát điều tra hàm số:

1. Tra cứu tập khẳng định của hàm số

2. Sự phát triển thành thiên

– Xét chiều biến thiên:

+ Tính đạo hàm y’

+ Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc ko xác định

+ Xét vết của đạo hàm y’ và suy ra chiều trở nên thiên của hàm số.

– Tìm cực trị

– Tìm những giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và search tiệm cận (nếu có)

– Lập bảng biến đổi thiên.

3. Vẽ thứ thị của hàm số

Dựa vào bảng trở thành thiên và những yếu tố khẳng định ở trên để vẽ đồ vật thị.

Bài 5 (trang 45 SGK Giải tích 12):Cho hàm số y = 2x2+ 2mx + m – 1 tất cả đồ thị là (Cm), m là tham số.

a) điều tra khảo sát sự biến hóa thiên cùng vẽ đồ gia dụng thị hàm số khi m = -1

b) xác minh m nhằm hàm số:

i) Đồng trở thành trên khoảng chừng (-1; +∞)

ii) có cực trị trên khoảng chừng (-1; +∞)

c) minh chứng rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với tất cả m.

Lời giải:

a)Với m = -1 ta được hàm số: y = 2x2+ 2x

– TXĐ: D = R, hàm số không có tiệm cận.

– Sự biến đổi thiên:

+ Chiều biến chuyển thiên: y’ = 4x + 2

y’ = 0 => x = -1/2

+ Bảng biến chuyển thiên:

*

Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2), đồng trở thành trên (-1/2; +∞).

+ rất trị: Hàm số có điểm rất tiểu là (-1/2; 3/2)

– Đồ thị:

Ta có: 2x2+ 2x = 0 ⇔ 2x(x + 1) = 0

=> x = 0; x = -1

+ Giao cùng với Ox: (0; 0); (-1; 0)

+ Giao với Oy: (0; 0)

*

b)Xét hàm số y = 2x2+ 2mx + m – 1

y’ = 4x + 2m = 2(2x + m)

y’ = 0 => x = -m/2

Ta gồm bảng xét dấu y’:

*

=> hàm số gồm cực trị tại x = -m/2

– Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞)

*

– Hàm số có cực trị trên khoảng (-1; +∞) thì:

*

c)Phương trình hoành độ giao điểm của thiết bị thị (Cm) và trục Ox là:

2x2+ 2mx + m – 1 = 0 (1)

Δ’ = m2– 2(m – 1) = m2– 2m + 2

= (m + 1)2+ 1 > 0 ∀ m ∈ R

=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là đồ vật thị luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với đa số m (đpcm).

Bài 6 (trang 45 SGK Giải tích 12):a) điều tra sự phát triển thành thiên và vẽ thiết bị thị (C) của hàm số:

f(x) = -x3+ 3x2+ 9x + 2

b) Giải phương trình f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x – 1) > 0.

c) Viết phương trình tiếp đường của đồ vật thị (C) tại điểm tất cả hoành độ x0, hiểu được f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x0) = -6.

Lời giải:

a)Khảo gần kề hàm số f(x) = -x3+ 3x2+ 9x + 2

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều trở nên thiên: f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x) = -3x2+ 6x + 9

f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x) = 0 ⇔ -3x2+ 6x + 9 = 0 ⇔ x = -1; x = 3

+ Giới hạn:

*

+ Bảng đổi mới thiên:

*

Hàm số đồng vươn lên là trên (-1; 3) với nghịch vươn lên là trên (-∞; -1) với (3; +∞).

+ rất trị:

Hàm số đạt cực lớn tại (3; 29);

Hàm số đạt cực tiểu tại (-1; -3);

– Đồ thị:

*

b)Ta có: f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x – 1) > 0

⇔ -3(x – 1)2+ 6(x – 1) + 9 > 0

⇔ -3(x2– 2x + 1) + 6x – 6 + 9 > 0

⇔ -3x2+ 6x – 3 + 6x – 6 + 9 > 0

⇔ -3x2+ 12x > 0 ⇔ -x2+ 4x > 0

⇔ x(4 – x) > 0 ⇔ 0 o) = -6 => -6xo+ 6 = -6 => xo= 2

Vậy phương trình tiếp đường với (C) trên điểm xo= 2 là:

y = f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(2)(x – 2) + f(2)

y = (-3.22+ 6.2 + 9)(x – 2) + (-23+ 3.22+ 9.2 + 2)

y = 9(x – 2) + 24 =9x + 6

Bài 7 (trang 45-46 SGK Giải tích 12):a) điều tra khảo sát sự vươn lên là thiên và vẽ đồ dùng thị hàm số:

y = x3+ 3x2+ 1

b) phụ thuộc đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m:

x3+ 3x2+ 1 = m/2

c) Viết phương trình mặt đường thẳng trải qua điểm cực to và điểm rất tiểu của thứ thị (C).

Lời giải:

a)Khảo gần kề hàm số y = x3+ 3x2+ 1

– TXĐ: D = R

– Sự vươn lên là thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2+ 6x = 3x(x + 2)

y’ = 0 ⇔ x = 0 ; x = -2

+ Giới hạn:

*

+ Bảng trở thành thiên:

*

Hàm số đồng đổi thay trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞).

Hàm số nghịch biến chuyển trên khoảng tầm (-2; 0).

+ cực trị:

Đồ thị hàm số gồm điểm rất tiểu là (0; 1).

Đồ thị hàm số có điểm cực to là (-2; 5).

– Đồ thị:

+ Giao cùng với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).

*

b)Số nghiệm của phương trình x3+ 3x2+ 1 = m/2 ngay số giao điểm của vật dụng thị (C) và con đường thẳng y = m/2.

*

(Đường thẳng y = m/2 là mặt đường thẳng tuy nhiên song cùng với trục Ox cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng m/2)

Cách làm:Dịch chuyển tuy vậy song con đường thẳng (d) cùng với trục Ox từ trên xuống bên dưới (hoặc từ dưới lên trên) là phụ thuộc số giao điểm của (d) với (C) nhằm biện luận.

Ngoài ra, trong những khi làm bài, các bạn không cần vẽ lại hình, chỉ việc vẽ (d) lên trên thứ thị vừa vẽ là được.

Biện luận:Từ thiết bị thị ta có:

+ m/2 5 ⇔ m > 10: phương trình có một nghiệm số.

Xem thêm: Cách Hiện Bài Viết Được Gắn Thẻ Trên Facebook Nhanh Chóng, Cách Xem Lại Bài Viết Được Gắn Thẻ Trên Facebook

Vậy:

+ trường hợp m 10 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

+ nếu như 2 y = -2x + 1

Vậy phương trình con đường thẳng trải qua điểm cực lớn và cực tiểu là:y = -2x + 1

Bài 8 (trang 46 SGK Giải tích 12):Cho hàm số:

f(x) = x3– 3mx2+ 3(2m – 1)x + 1 (m là tham số).

a) xác minh m nhằm hàm số đồng trở thành trên tập xác định.

b) với cái giá trị nào của thông số m thì hàm số gồm một cực đại và một rất tiểu?

c) xác định m để f”(x) > 6x.

Lời giải:

a)TXĐ: D = R

f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x) = 3x2– 6mx + 3(2m – 1)

f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x) = 0 ⇔ 3x2– 6mx + 3(2m – 1) = 0 (1)

Δ’ = (-3m)2– 3.3(2m – 1) = 9(m2– 2m + 1)

= 9(m – 1)2

Để hàm số đồng đổi mới trên D thì f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x) ≥ 0

⇔ Δ’ ≤ 0 ⇔ 9(m – 1)2≤ 0 =>m = 1

b)Hàm số bao gồm một cực đại và một cực tiểu khi còn chỉ khi phương trình (1) gồm 2 nghiệm phân biệt.

⇔ Δ’ > 0 ⇔ 9(m – 1)2> 0 =>m ≠ 1

c)Ta có: f”(x) = 6x – 6m

f”(x) > 6x ⇔ 6x – 6m > 6x

⇔ – 6m > 0 ⇔m 4– 6x2+ 3 = m.

Lời giải:

a)Khảo ngay cạnh hàm số

*

– TXĐ: D = R

– Sự vươn lên là thiên:

+ Chiều thay đổi thiên: f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x) = 2x3– 6x = 2x(x2– 3)

f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(x) = 0 ⇔ 2x(x2– 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3

+ số lượng giới hạn tại vô cực:

*

+ Bảng biến chuyển thiên:

*

Hàm số đồng biến hóa trên (-√3; 0) với (√3; +∞).

Hàm số nghịch biến hóa trên (-∞; -√3) cùng (0; √3).

+ rất trị:

Đồ thị hàm số đạt cực lớn tại (0; 3/2)

Đồ thị hàm số đạt rất tiểu tại (-√3; -3) cùng (√3; -3)

– Đồ thị:

*

b)Ta có: f”(x) = 6x2– 6 = 6(x2– 1)

f”(x) = 0 ⇔ 6(x2– 1) ⇔ x = ±1 => y = -1

Phương trình tiếp tuyến đường của (C) trên (-1; -1) là:

y = f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(-1)(x + 1) – 1 =>y = 4x + 3

Phương trình tiếp con đường của (C) trên (1; -1) là:

y = f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(1)(x – 1) – 1 =>y = -4x + 3

c)Ta có: x4– 6x2+ 3 = m

*

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của vật thị (C) và đường thẳng y = m/2.

Biện luận:Từ đồ vật thị:

+ m/2 3/2 ⇔ m > 3: phương trình bao gồm 2 nghiệm.

Vậy:

+) m 3 thì PT bao gồm 2 nghiệm.

+) m = 3 thì PT tất cả 3 nghiệm.

+) – 6 4+ 2mx2– 2m + 1 (m tham số)

có đồ dùng thị là (Cm).

a) Biện luận theo m số rất trị của hàm số.

d) với cái giá trị như thế nào của m thì (Cm) giảm trục hoành?

c) xác minh để (Cm) gồm cực đại, cực tiểu.

Lời giải:

a)y’ = -4x3+ 4mx = 4x(m – x2)

y’ = 0 (1) ⇔ 4x(m – x2) = 0 => x = 0; x2= m

– nếu như m ≤ 0 thì phương trình (1) có một nghiệm => hàm số không tồn tại cực trị.

– ví như m > 0 thì phương trình (2) có 3 nghiệm => hàm số bao gồm 3 rất trị.

b)Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) cùng với trục hoành:

-x4+ 2mx2– 2m + 1 = 0 (2)

Đặt x2= t (t ≥ 0) lúc đó phương trình (2) tương đương với:

-t2+ 2mt – 2m + 1 = 0 (3)

(Cm) cắt trục hoành lúc phương trình (2) gồm nghiệm. Điều này tương tự với phương trình (3) gồm nghiệm ko âm. Tất cả hai ngôi trường hợp:

– TH1: Phương trình (3) gồm 2 nghiệm trái dấu:

*

– TH2: Phương trình (3) gồm 2 nghiệm hầu hết không âm:

*

Kết vừa lòng TH1 và TH2 ta có với mọi m thì thiết bị thị (Cm) luôn luôn cắt trục hoành.

c)(Cm) tất cả cực đại, rất tiểu khi phương trình (1) có tía nghiệm phân biệt.

⇔ x2= m tất cả 2 nghiệm phân biệt

m > 0

Bài 11 (trang 46 SGK Giải tích 12):a) điều tra sự trở thành thiên với vẽ trang bị thị (C) của hàm số

*

b) chứng tỏ rằng với tất cả giá trị của đường thẳng y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm minh bạch M với N.

c) xác minh m làm thế nào để cho độ dài MN nhỏ tuổi nhất.

d) Tiếp đường tại một điểm S bất kể của C cắt hai tiệm cận của C tại p và Q. Minh chứng rằng S là trung điểm của PQ.

Lời giải:

a)Khảo ngay cạnh hàm số:

– TXĐ: D = R (-1)

– Sự biến hóa thiên:

+ Chiều biến thiên:

*

Hàm số luôn luôn nghịch vươn lên là trên D.

+ rất trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

*

=> Đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

*

=> Đồ thị gồm tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến chuyển thiên:

*

– Đồ thị:

+ Giao cùng với Ox: (-3; 0)

+ Giao với Oy: (0; 3)

*

b)Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và con đường thẳng y = 2x + m là:

*

Dễ thấy x = -1 không là nghiệm của phương trình (1).

Ta có: Δ = (m + 1)2– 8(m – 3) = m2– 6m + 25

Δ = (m – 3)2+ 16 > 0 ∀ m

=> Phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

Vậy mặt đường thẳng y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại 2 điểm rành mạch M với N.

c)Giả sử M(x1; y1), N(x2; y2) cùng với x1, x2là nghiệm của phương trình (1) và y1= 2x1+ m, y2= 2x2+ m.

*

MN nhỏ tuổi nhất ⇔ MN2nhỏ nhất bởi 20.

Dấu “=” xẩy ra ⇔ m – 3 = 0 ⇔ m = 3

Khi kia độ lâu năm MN bé dại nhất = √20 = 2√5

d)Gọi S(xo; yo) ∈ (C).

Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) trên S là:

*

– Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng x = -1 là:

*

– Giao điểm của (d) cùng với tiệm cận ngang y = 1 là: Q(2xo+ 1; 1).

– Trung điểm của PQ là I(x1; y1) bao gồm tọa độ là:

*

Suy ra S(xo; yo) chính là trung điểm của PQ (đpcm).

Bài 12 (trang 47 SGK Giải tích 12):Cho hàm số

*

a) Giải phương trình f"https://huynhhuunghia.edu.vn/giai-bai-tap-toan-12-sgk-chuong-1/imager_1_17553_700.jpg(sin x) = 0.

b) Giải phương trình f”(cos x) = 0.

c) Viết phương trình tiếp con đường của đồ thị hàm số đã mang lại tại điểm tất cả hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0.